La geometria che si studia a scuola è quella piana, detta euclidea, ma non è l’unica geometria possibile

Per secoli la geometria di riferimento è stata quella di Euclide, l’antico greco che formulò alcuni postulati intuitivi della geometria piana. Tra questi: due rette parallele non si incontrano mai; la somma degli angoli interni di un triangolo è sempre 180°; per due punti passa una sola retta. Queste regole funzionano perfettamente per misurazioni e mappe, ed è la geometria che viene insegnata a scuola. Ma la matematica, come la natura, si è dimostrata più ricca di quanto Euclide immaginasse.

Ci sono infatti dei sistemi geometrici in cui almeno uno dei postulati di Euclide non è valido. L’idea si sviluppò intorno XIX secolo, quando matematici come Gauss, Lobachevskij e Riemann misero in discussione il quinto postulato di Euclide, quello delle rette parallele, e costruirono geometrie coerenti alternative. Queste si dividono in due famiglie principali: la geometria iperbolica e quella sferica.

Nella geometria iperbolica, attraverso un punto esterno a una retta si possono tracciare infinite rette parallele a quella data; i triangoli hanno somma degli angoli inferiore a 180°, e le lunghezze e le aree crescono più rapidamente rispetto alla geometria euclidea. Un modo intuitivo di immaginare questa geometria è una sella: una superficie che curva in verso opposto lungo direzioni diverse. Nella geometrica sferica, invece, non esistono rette parallele: se si immagina una sfera, ad esempio, i suoi meridiani sono linee che appaiono parallele all’altezza dell’equatore, ma si intersecano in due punti della sfera, e cioè ai poli; inoltre i triangoli hanno somma degli angoli maggiore di 180°. Questa geometria descrive superfici chiuse senza confini.

Per distinguere uno spazio non euclideo, la parola chiave è “curvatura”: gli abitanti di una superficie curva possono determinarne la curvatura usando misure interne, senza guardare un eventuale spazio circostante ma misurando gli angoli di triangoli molto grandi sulla superficie. Proprio così si osserverebbe ad esempio che la Terra può essere trattata con la geometria piana per piccole distanze, mentre a distanze maggiori la sua curvatura ne influenza inevitabilmente la geometria.

Queste geometrie non sono solamente un gioco matematico: hanno applicazioni pratiche ad esempio nella navigazione e nell’astronomia; inoltre la Relatività Generale di Einstein descrive lo spaziotempo dell’universo come curvo, e quindi come non euclideo.

In immagine: rappresentazioni bidimensionali di tre possibili geometrie: sferica (in alto); a sella (al centro); piatta (in basso). Crediti: NASA/WMAP Science Team